Matemáticas de 2.º de ESO: temario y ejercicios resueltos por tema

Matemáticas de 2.º de ESO es el curso en el que el álgebra pasa a primer plano: expresiones algebraicas, identidades notables, ecuaciones de primer y segundo grado y sistemas de dos ecuaciones. En geometría llegan el teorema de Pitágoras, la semejanza y los volúmenes, y en análisis la función lineal. Los contenidos siguen los sentidos de la LOMLOE, pero en clase se trabajan por temas. Aquí tienes el temario más habitual, un ejercicio resuelto de cada tema, los errores más frecuentes y algunas ideas para que el salto algebraico no deje a nadie atrás.

El temario de 2.º de ESO

El Real Decreto 217/2022 establece los saberes básicos de Matemáticas para el primer ciclo de la ESO sin repartirlos curso a curso; cada comunidad y cada departamento concretan qué va en 1.º y qué en 2.º. Por eso dos centros de la misma ciudad pueden tener un orden distinto. La secuencia que encontrarás con más frecuencia es esta:

Ejercicios resueltos

Potencias y notación científica

Ejercicio. Escribe en notación científica 0,00045 y 3.200.000.

Solución. 0,00045 = 4,5 · 10⁻⁴; 3.200.000 = 3,2 · 10⁶. El número delante siempre está entre 1 y 10.

Proporcionalidad inversa

Ejercicio. Tres pintores tardan 8 días en pintar una casa. ¿Cuánto tardarían 4 pintores al mismo ritmo?

Solución. A más pintores, menos días: proporcionalidad inversa. El producto se mantiene: 3 · 8 = 24 jornadas. 24 / 4 = 6 días.

Error típico: aplicar una regla de tres directa y obtener 10,6 días. Antes de calcular, hay que preguntarse si al aumentar una magnitud la otra sube o baja.

Identidades notables

Ejercicio. Desarrolla (x + 3)².

Solución. (a + b)² = a² + 2ab + b², así que x² + 6x + 9.

Error típico: escribir x² + 9, olvidando el doble producto. Comprobar con un número (x = 1: 16 frente a 10) desmonta el error en segundos.

Ecuaciones de primer grado con denominadores

Ejercicio. Resuelve x/2 + x/3 = 10.

Solución. Multiplicamos todo por el m.c.m. (6): 3x + 2x = 60, así que 5x = 60 y x = 12.

Ecuaciones de segundo grado

Ejercicio. Resuelve x² − 5x + 6 = 0.

Solución. Con la fórmula: x = [5 ± √(25 − 24)] / 2 = (5 ± 1) / 2. Soluciones: x = 3 y x = 2. Comprobación: 9 − 15 + 6 = 0 y 4 − 10 + 6 = 0.

Incompleta. x² − 49 = 0 → x² = 49 → x = 7 o x = −7. Muchos alumnos olvidan la solución negativa.

Sistemas de ecuaciones

Ejercicio. En una granja hay gallinas y conejos: 20 cabezas y 56 patas. ¿Cuántos hay de cada?

Solución. g + c = 20; 2g + 4c = 56. Por sustitución: g = 20 − c, así que 2(20 − c) + 4c = 56 → 40 + 2c = 56 → c = 8 y g = 12.

Teorema de Pitágoras

Ejercicio. Una escalera de 5 m se apoya en una pared con el pie a 3 m. ¿A qué altura llega?

Solución. h² + 3² = 5² → h² = 16 → h = 4 m.

Semejanza

Ejercicio. Un árbol proyecta una sombra de 12 m a la misma hora en que un palo de 1,5 m proyecta 2 m. ¿Cuánto mide el árbol?

Solución. Triángulos semejantes: altura / sombra igual en ambos. 1,5 / 2 = h / 12 → h = 9 m.

Volúmenes

Ejercicio. ¿Cuántos litros caben en un depósito cilíndrico de radio 0,5 m y altura 2 m? (π ≈ 3,14)

Solución. V = π · r² · h = 3,14 · 0,25 · 2 = 1,57 m³ = 1.570 litros.

Funciones

Ejercicio. Halla la ecuación de la recta que pasa por (0, 2) y (3, 8).

Solución. Pendiente: (8 − 2) / (3 − 0) = 2. Ordenada en el origen: 2. Recta: y = 2x + 2.

Probabilidad

Ejercicio. En una bolsa hay 3 bolas rojas y 5 azules. ¿Qué probabilidad hay de sacar una roja?

Solución. Regla de Laplace: casos favorables / casos posibles = 3/8.

Por qué 2.º es el curso clave del álgebra

En 1.º los alumnos ven las letras por primera vez; en 2.º tienen que operar con ellas con soltura. Si este curso se supera con agujeros, 3.º se convierte en una cuesta arriba, porque polinomios, sistemas y funciones se apoyan en lo que aquí se aprende. La experiencia de muchos departamentos es clara: los alumnos que suspenden Matemáticas en 3.º rara vez fallan por el contenido nuevo, sino por arrastrar dudas con los signos, las fracciones o la manipulación de ecuaciones. Merece la pena dedicar tiempo a consolidar antes de avanzar, aunque eso suponga recortar algún tema del final del libro.

Tres recomendaciones para el aula:

• Empezar cada ecuación por el sentido. Antes de aplicar reglas, preguntar “¿qué número podría ser?”. Probar valores da intuición y luego se formaliza.
• Insistir en la comprobación. Sustituir la solución en la ecuación original es la única forma de que el alumno sepa si ha acertado sin esperar a la corrección.
• Traducir enunciados. El mayor obstáculo en los problemas no es resolver, sino plantear. Dedicar sesiones solo a traducir frases (“el doble de un número menos tres”) a lenguaje algebraico, sin resolverlas, rinde mucho.

Cómo atender a la diversidad en 2.º

En 2.º de ESO conviven alumnos que ya resuelven sistemas con soltura y otros que todavía dudan con la regla de los signos. Algunas estrategias que no exigen preparar dos clases distintas:

• Fichas escalonadas. El mismo tema en tres niveles: operaciones directas, problemas de un paso y problemas abiertos. Todos trabajan el mismo contenido, cada uno desde donde está.
• Parejas heterogéneas para resolver problemas, con el compromiso de que los dos sepan explicar la solución.
• Material manipulativo también en Secundaria. Las fichas de álgebra (tiras y cuadrados) ayudan a entender las identidades notables, y una balanza dibujada sigue siendo útil para las ecuaciones.

Con el generador de fichas puedes preparar en minutos una hoja de ecuaciones o de problemas de Pitágoras en tres niveles y con las soluciones al final.

Una situación de aprendizaje para cerrar el curso

Una buena forma de integrar varios temas de 2.º es un proyecto con producto real. Por ejemplo, “Diseñamos el huerto del instituto”: los alumnos miden la parcela y calculan su área, usan Pitágoras para comprobar que las esquinas son rectas, calculan el volumen de tierra que hace falta para los bancales, plantean un sistema para decidir cuántas plantas de cada tipo caben con un presupuesto fijo y representan el crecimiento de una planta en una gráfica. Al final presentan el plan al equipo directivo o a la asociación de familias.

Este tipo de tarea encaja con lo que pide la LOMLOE: aplicar las matemáticas a situaciones del entorno, trabajar en equipo y comunicar resultados. No sustituye a la práctica de procedimientos, pero le da sentido. Basta con una por trimestre, de cuatro a seis sesiones, para que el alumnado vea para qué sirve lo que está aprendiendo.

Cómo estudiar para el examen

Para el alumnado, lo que mejor funciona en Matemáticas es la práctica activa. Leer apuntes da sensación de dominio, pero no es lo mismo que resolver. Un método sencillo: tapar la solución de los ejercicios hechos en clase y rehacerlos; si alguno sale mal, repetir uno parecido al día siguiente. Explicar en voz alta los pasos a otra persona es la mejor prueba de que se ha entendido.

Para la última semana, conviene preparar una hoja propia con las fórmulas y los errores que uno suele cometer (“olvido la solución negativa”, “no cambio el signo al pasar”). Ese repaso personal vale más que cualquier resumen ajeno. Ese repaso personal, hecho a mano, es además una excelente forma de estudiar.

Antes y después

Si detectas lagunas de base, el temario de Matemáticas de 1.º de ESO tiene ejercicios de enteros, fracciones y ecuaciones sencillas para repasar. Y para ver hacia dónde va el curso siguiente, tienes Matemáticas de 3.º de ESO.

Todos los cursos, de 1.º de Primaria a 4.º de ESO, están ordenados en la guía de matemáticas por curso.